鄒大海

（北京100010，中國科學院自然科學史研究所）

 

摘要 簡牘的發現與利用對中國史研究的很多方面都産生了深刻的影響。但在中國數學史的研究中，簡牘所發揮的作用曾長期非常有限。不過，近十年來特別是新世紀以來，隨著張家山出土的《筭數書》的全文公布，簡牘材料的作用正逐漸突顯出來。出土簡牘中真正的數學文獻不多，但有些非數學文獻對研究數學史仍有著非常重要的價值。本文從以下相互關聯的幾個方面就出土簡牘對中國早期數學史研究的作用和意義做一初步的討論。一、出土數學文獻爲認識早期數學提供了一些完全可靠的實例。二、出土簡牘文獻使我們能對以前中國數學史研究中的一些論斷進行檢驗。三、出土簡牘文獻促使我們對以往中國數學史的研究方法進行反思。四、出土文獻爲我們重建早期中國數學史提供了重要的依據。

關鍵詞 出土簡牘，中國早期數學史，《筭數書》，《九章算術》，錢寳琮，李儼

 

ZOU Dahai

Keyword: unearthed bamboo and wooden strips, history of mathematics in early China, Suanshu Shu (Writings on Reckoning), Nine Chapters on Mathematical Procedures, QIAN Baocong, LI Yan

 

 

數學是中國古代最發達的科學門類之一。中國古代數學曾對東南亞的數學産生了深刻的影響，還間接通過印度、阿拉伯地區，對近現代數學的發展産生一定作用。中國古代數學家留下了大量的算書，但保存至今的主要是明清兩代的著作，以前的很少。從遠古到漢代的漫長歷史時期中，祇有《周髀算經》和《九章算術》兩部數學著作流傳至今。兩部著作水平都較高，特別是《九章算術》算法相當齊備，幷有很多相當高級的內容。不過，它們的最後編成都在漢代（具體時間有不同的意見，但都在西漢中期到東漢前期這一區間內），因此對漢及漢以前的數學史，我們往往難以通過傳世文獻建立一個較爲清晰的發展脉絡。

自20世紀初我國西北地區發現大量簡牘以來，中國歷史的研究受此影響非常之大。但這些發現，在很長時間內對中國數學史研究的影響甚小。其主要原因當然是有關數學的簡牘材料太少。近十年來，特別是新世紀以來，隨著含有豐富數學內容、出土於湖北江陵張家山西漢初年墓的《筭數書》的全文之公布，簡牘材料的作用正逐漸突顯出來，一些學者越來越重視簡牘材料對於研究中國數學史的價值。簡牘通行於公元3世紀及以前，其中有關數學的材料，正好可以補傳世數學文獻之缺。因此本文擬就簡牘對於中國早期數學史的作用與意義做一概括性的討論。

自羅振玉、王國維介紹漢簡以後，李儼先生介紹了其中的九九表[1]。1943年勞幹的《居延漢簡釋文之部》出版，嚴敦傑先生首先研究了其中的數學史料。除討論其中的九九表外，嚴先生還校補了漢簡的一些文字，幷與傳世《九章算術》、《孫子算經》等對照，說明當時數學的一些情况[2]。但由於這些簡牘中的數學內容比較簡單，而且材料的數量也很有限，所以對我們瞭解早期數學提供不了很多新的認識。後來也有一些史學家如李儼[3]、陳直[4]等先生用到這些材料，但基本不超過嚴先生討論的範圍。

1983和1984年之交，湖北江陵張家山一個西漢初年的墓（247號）出土了一部數學著作《筭數書》，之後考古學家非常簡要地介紹了它的情况，幷先後介紹了個別問題，引起廣泛關注，陸續有一些文章發表。但在《筭數書》全文公布以前，這些文章超出原介紹文章的地方不多。大約從這個時候起，李迪先生[5]、郭世榮先生[6]討論了西北漢簡中用到的數學知識。後來又有擴展，幷涉及秦簡[7]。1998年胡平生先生的文章介紹幷討論了阜陽出土的《算術書》[8]。筆者也於20世紀末开始利用睡虎地秦簡研究先秦數學史。

2000年9月《筭數書》釋文整部公布，立引起海內外學者的重視，校勘、釋讀、以之爲史料研究早期數學史的文章頻頻見於報刊。與此同時，參用其他簡牘材料的文章亦有一些。下面我結合這些年來的研究情况，分四个方面介紹自己在出土簡牘對中國早期數學史研究的作用和意義方面的初步思考，就教於方家。

 

 

和其他古代文獻一樣，在唐代雕板印刷術發明之前，數學文獻的流傳主要靠傳抄。總體來說，傳抄的隨意性比較大。在傳世文獻中，以南宋鮑澣之於慶元六年（公元1200年）雕刻的《九章算經》爲現存最早的算書刻本[9]。它是北宋元豐七年（公元1084年）秘書省刻本《九章算經》的翻刻本。從元豐七年算起，距離《九章算術》的編成，也有一千一百年。其間傳抄的變化有多大，懷疑者盡可懷疑。出土文獻給了我們一些實例，證明當時確有這樣一些算法和問題。例如：

1《筭數書》有一個織布的問題：

“女織 鄰里有女惡自喜也織，（曰）[日]自再，五日織五尺。問始織日及其次各幾何。曰：始織一寸六十二分寸卅八，次三寸六十二分寸十四，次六寸六十二分寸廿八，次尺二寸六十二分寸五十六，次（一）[二]尺五寸六十二分寸五十。术曰：直二、直四、直八、直十六、直卅二，并以為法，以五尺偏乘之，各自為實，實如法得尺。不盈尺者十之，如法一寸。不盈寸者，以法命分。”[10]

《九章算術》衰分章也有很接近的問題：

    今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問：日織幾何?荅曰：初日織一寸三十一分寸之十九；次日織三寸三十一分寸之七；次日織六寸三十一分寸之十四；次日織一尺二寸三十一分寸之二十八；次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。術曰：置一、二、四、八、十六爲列衰，副幷爲法。以五尺乘未幷者，各自爲實，實如法得一尺。[11]

 兩相對照，除表述上的細微差別外，兩個問題在數學上的區別祇有《九章算術》的列衰是經過約簡的，而《筭數書》則沒有約簡。

 由於兩書幷非同一部書的不同版本，所以這個例子說明《九章》的這個問題不僅不是後來加進的，而且證明《九章》確有更早的淵源。

2《管子·輕重戊》篇載管子的話，稱虙戲（伏羲）“作九九之數，以合天道”。《韓詩外傳》、《說苑》和《戰國策》佚文等文獻都記載齊桓公時求賢，有一個鄙人以會九九自薦而受到重用的故事。《周髀算經》也載商高答周公問稱：“……矩出於九九八十一”。在先秦文獻中有大量乘法口訣，相關傳世文獻都表明九九乘法表在先秦已經普及[12]。但早期的傳世文獻中我們看不到完整的乘法表。居延、敦煌等地出土有這類文字，但仍有較多殘缺。近年湘西里耶古井出土了一支木牘：

    “九 九八十一，八 九 七十二，七九六十三，六九五十四，五九 五，四九丗六，三九廿七，二九十八，八[八]六十四，七八五十六，六八 八，五八 ，四八丗二，三八廿四，二八十六，七[七] 九，六七 二，五七丗五，四七廿八，三七廿一，二七十四，六[六]丗六，五六卅，四六廿四，三六十八，二六十二，五[五]廿五，四五廿，三五十五，二五而十，四[四]十六，三四十二，二四而八，三[三]而九，二三而六，二[二]而四，一[一]而二，二半而一。凡千一百一十三字。”[13]

上述文字中方框內的文字係因原牘殘破由整理者補上的，方括號內文字在原木牘上用重文號表示。最後那個方括號內由重文號表示的“一”，整理者以爲應該是“二”之誤。胡平生先生則認爲不必改，該句仍爲“一一而二”，表示一和一相加爲二[14]。末“字”可能是算籌的單位，“凡千一百一十三字”的意思是所有這些計算的結果加到一起爲1113根算籌[15]。這支木牘於e代末年與其他簡牘和垃圾等物廢弃於井中，應該能在很大程度上反映先秦九九表的原貌。

3《筭數書》和《九章算術》都有圓臺的體積公式：

《筭數書》：

“睘（圜）亭 圜亭上周三丈，（大）[下]周四丈，高二丈，積二千五十五尺卅六分尺廿。術曰：下周乘上周，周自乘，皆幷，以高乘之，卅六成[一]。今二千五十五尺[卅六]分[尺]廿。”[16]

《九章算術》商功章：

    “今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。問積幾何？荅曰：五百二十七尺九分尺之七。術曰：上、下周相乘，又各自乘，幷之，以高乘之，三十六而一。”[17]

這兩個問題不一樣，方法的表述也有細微差別，但方法的實質是一樣的。这說明《九章算術》中圓臺體積的計算方法至遲在公元前2世紀初年確實已經存在了，而不必等到公元前1世紀《九章算術》成書的時候，更不要說是後來知道這個公式纔把它加進去的。

     上面幾個是早期數學的完全可靠的實例，這樣的例子還可以舉出不少。事實上，通過比較《筭數書》和《九章算術》，可以直接肯定《九章》的大部份算法可以追溯到公元前2世紀初年以前[18]。可見，早期文獻雖纍經傳抄，流傳至今的版本雖可能存在訛變，但在沒有特別證據說明爲後世所加入或竄改的情况下，我們仍能以之作爲研究早期數學的依據。

 

 

關於早期數學史，由於材料有限，不同的人對材料的運用也不盡相同，因而容易産生不同的見解。出土文獻可以對以前的一些論斷進行檢驗。

例如《九章算術》均輸章，錢寶琮先生以爲前四個典型的均輸問題是漢武帝太初元年之後纔有的，理由是太初元年（公元前104年）之後郡國始置均輸官，施行均輸法[19]。李儼先生[20]、陳直先生[21]則說均輸問題是元封元年（公元前110年）之後的，理由是據《史記·平准書》說“元封元年，……，往往縣置均輸鹽鐵官”[22]，均輸法開始於武帝元封元年。總之，以前大家都認爲均輸問題祇能到漢武帝時代或以後纔會有。

出土文獻證明這個論斷不正確。在張家山出土《筭數書》的247號墓中同時出土了法律文書，其中就有均輸律（竹簡上有標題，可惜正文沒有保存好）[23]，說明均輸律決不是從漢武帝時候纔有的。《筭數書》中有一些問題，與均輸章後面的一些問題算法相同，說明《均輸》章的問題可以在更早的時代出現。宋傑先生認爲，《鹽鐵論》中提到的兩個均輸中，古之均輸與《九章算術》的均輸相類，而今之均輸則是漢武帝時候推廣開來的[24]。胡平生先生[25]亦持類似之意見，他還從阜陽雙古堆一個西漢文帝時候的墓中出土的數學著作殘簡上，發現了兩小段殘存文字，一段爲“□萬一千二百戶行二旬各到輸所”（第28號簡），另一段爲“千六百”（第20號）。他認爲這是《均輸》章的第一個問題的殘文。《九章》的這個問題是：

    “今有均輸粟：甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦當輸二十五萬斛，用車一萬乘。欲以道里遠近、戶數多少衰出之。問粟、車各幾何? 荅曰：甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。”[26]

阜陽算書第1段與“（丁縣）一萬二千二百戶，行道二十日”的差别是：前者“一”字可能是“二”之誤，“二旬”與“二十日”是同一意義的兩種表達。第2段“千六百”可能是丁縣“車一千六百二十二乘”的殘文。這些說明《九章》的典型均輸問題在漢武帝之前也是存在的。筆者用睡虎地出土的秦律、先秦諸子和史學文獻以及上述雙古堆數學簡與《九章》的均輸問題相結合，進一步證明先秦時代肯定要用到《九章》的均輸方法[27]。

又如錢寶琮先生說：“雖然沒有一本先秦的數學書流傳到後世，但不容懷疑的是：《九章算術》方田、粟米、衰分、少廣、商功等章的內容，絕大部分是産生於秦以前的”[28]。根據出土材料分析，這個論斷是正確的（也是保守的）。而有的內容則可以由出土文獻得到直接的證實。例如《方田章》的分數四則運算方法、長方形面積公式，《粟e》章的比例和比例分配方法，《少廣》章的少廣問題，《商功》章的部分體積或容積公式，在《筭數書》中有明確的算法，其中有的問題在表達上也很接近。由於《筭數書》的下限在公元前186年，其內容的産生時代大多在先秦或秦代，因此《九章算術》前五章産生於秦以前的結論就很可信。其中，分數的四則運算方法、長方形面積公式、簡單的正比例方法在書中是基本的知識，書中有大量建立在它們之上的方法和問題，所以它们肯定比《筭數書》的下限要早很久，因此必定出於先秦。《筭數書》中一些體積公式，其中一部分計算程序是圓、三角形、梯形的面積公式，因此它們的時代肯定比體積公式要早很長時間，所以也必然遠早於《筭數書》的下限，肯定是先秦就有的。

另外，《筭數書》中還有盈不足方法的應用，說明《九章》中《盈不足》章的方法也不是武帝或更晚時候纔有的。比較兩種文獻中的盈不足問題的內容和表達方式，可以斷定，《筭數書》的盈不足問題是建立在《九章》盈不足方法的基礎上的，因而可以斷定盈不足確如東漢初年鄭衆所說，是先秦已有的數學分支[29]。因此，錢老的說法是保守的。從邏輯上推論，則《九章算術》的絕大部份算法都出於先秦[30]。

 

 

由於出土簡牘提供了新的材料，所以它對中國數學史研究方法的觸動首先在於史料的闡釋與應用上面。

一般來說，如果關於某個問題有豐富的史料且史料之間沒有矛盾，又不違背常理，那麽問題的答案就很明確。當史料不多，或史料之間不大好銜接時，不同的人對史料的認識就不一樣，結論也就不同。下面以錢寶琮和李儼兩位先生在《九章算術》編纂年代問題上的意見爲例，考察他們對待史料的不同態度。

現存史料中，記載《九章算術》年代的祇有劉徽《九章算術注序》。他明確說：“周公制禮而有九數，九數之流，則九章是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱删補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也”[31]。他的意思是西周初年周公制定禮儀制度時，就有數學這一學科“九數”，它的流變就是《九章算術》。但殘暴的秦始皇焚書，導致經術都散失毀壞了，《九章》也被損壞。此後，張蒼、耿壽昌收集免於秦始皇焚書的先秦《九章》殘存之簡，進行整理和删補，調整了數學的科目，幷在一定程度上用當時的語言改寫而形成漢代的《九章算術》。據此則《九章算術》是一本源遠流長的經典數學著作，在先秦時已經成書。但這本先秦的《九章》因始皇焚書事件而受到損壞，今本《九章算術》則是由張蒼、耿壽昌收集先秦《九章》舊文，再行整理和删補而成。也就是說，從西周至漢代有很多人對今本《九章算術》做出了貢獻，但它最後成書於耿壽昌。耿壽昌在漢宣帝時任大司農中丞，擔負有關農業水利漕運之事。他的活動年代在公元前1世紀中葉。按劉徽的說法，《九章算術》的編成也應在這一時期。

但對於劉徽的這一記載，不同的學者態度也不盡相同。下面介紹錢寶琮和李儼兩位先生的意見。錢先生認爲[32]《九章算術》大約成書於公元50至100年之間，其主要的理由是：

1均輸章的前四個典型的均輸問題是漢武帝以後的，因爲漢武帝太初元年（公元前104年）郡國始置均輸官，施行均輸法。

2“《漢書·藝文志》沒有著錄《九章算術》。班固的《漢書·藝文志》是依據劉歆的《七略》寫成的。由此可證《九章算術》的編成還在劉歆《七略》之後。”

3“公元50年前後（漢光武帝時）鄭衆解釋《周禮》‘九數’時，‘句股’還沒有被安排到‘九數’內去，可證包含句股章在內的《九章算術》的編成不會在公元50年以前。”

4“《後漢書》馬援傳說，他的侄孫馬續‘十六治詩，博觀群籍，善九章算術’。馬續是馬嚴之子，馬融（79-166）之兄，他的生年約在公元70年前後。他研究《九章算術》大概是在公元90年前後。此後，第二世紀中鄭玄（127-200）‘通九章算術’，第三世紀初，趙爽《周髀注》說‘施用無方，曲從其事，術在九章’。公元第二世紀以後，《九章算術》的存在是無可懷疑的。”

其中第1條祇是否定《九章算術》的下限達到張蒼時代，第4條把下限拉到公元1世紀末，這與劉徽的話本沒有矛盾。第2條把上限拉到西漢末年之後，第3條進一步把上限拉到公元50年。這與劉徽的話就很矛盾了。錢寶琮先生幷沒有明確說劉徽的話有錯誤，而是據《漢書·藝文志》沒有著錄張、耿的數學著作而著錄了許商和杜忠的《算術》，說明這兩書是《九章》的前身，而劉徽沒有提許、杜則是“他一時的疏忽”。他還說“近人孫文青以爲馬續就是《九章算術》的編纂者，證據雖不够充分，但這是很可能的”。

李儼先生的想法有些不同。他把漢代作爲整理和研究《九章算術》的時代。認爲張蒼和耿壽昌是整理者，“删定《九章》”[33]。這種意見以劉徽的記載爲基礎。他又說：“漢許商、杜忠、劉歆、劉洪、馬續、鄭玄、徐岳、（趙君卿）、吳闞澤、陳熾；魏王粲諸人，幷治《九章》”。除劉歆外，涉及其他人研習《九章》的，都有文獻直接提到他們與《九章》有關。其中許、杜之研習《九章》，係引證《廣韻》卷四“筭”字條[34]。另外，李儼先生也認爲均輸是漢武帝時桑弘羊開始的[35]。錢老的著作初版於李儼先生去世後的1964年，影響甚大。李老的意見，重視的却不多。

兩位先生在史料應用上有明顯的區別。李先生比較尊重原始文獻和關係較直接的材料，很少否定文獻的記載。錢先生則富有批判精神。受疑古思潮的影響，他總覺得那些反映《九章算術》年代早的文獻不可信，所以傾向於挖掘史料中的問題和史料之間的矛盾。

對史料的審查和懷疑永遠是必要的，但審查和懷疑也建立在證據和推理的基礎之上。用什麽證據、如何進行推理，不同的人作法不同，彈性範圍很大。下面對在《九章》成書問題上錢、李二先生對一些史料的應用，做一考察。

1《漢書·藝文志》以劉歆《七略》爲基礎，它是否著錄被作爲一種文獻是否成於西漢及以前的指標。錢老在判斷《九章》年代時把它作爲一項决定力很强的指標。從邏輯上講，《七略》著錄的書，可以說西漢時就有；但反過來却不然。《藝文志》或《七略》的著錄也會有漏網之魚，不能說沒有著錄的就一定沒有，余嘉錫先生《古書通例》中有一節“諸史經籍志皆有不著錄之書”論及此類問題[36]。本文後面也將舉例說明《藝文志》不著錄不可作爲一書不存在的主要論據而祇能作爲旁證。李老則沒有理會《藝文志》不著錄《九章算術》，祇說“隋以後史書都有記錄”[37]。這實際是覺得《藝文志》著錄與否，幷不是很要緊的事。平心而論，歷史上確有僞造或附會前人的書，所以史志沒有著錄作爲一個懷疑的依據也還是可以的。但著錄與否，很難說是決定性的證據。事實上，錢先生對這一標準也沒有貫徹始終。《周髀》也和《九章》一樣不著錄於《藝文志》，但他把《周髀》則仍定在“公元前100年前後，或在更晚的時代。”[38]

2鄭衆（？—83年）對《周禮》“九數”注文是：“方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要，今有重差、夕桀、句股也”[39]。錢先生把鄭注的時間定在公元50年前後。鄭衆說當時候有勾股這個數學門類，但“九數”中沒有。錢先生把鄭衆注的“九數”理解爲約公元50年他作注之前數學的各大門類之全部，所以纔根據“九數”中沒有勾股，斷定含有勾股的《九章算術》祇能是在公元50年以後。由於鄭衆所傳爲父親鄭興之學，而鄭興之學又源自古文經學派的劉歆[40]。所以鄭衆注中的“九數”，按他自己的理解應爲《周禮》時代的東西，也就是周代的東西。因此錢老的理解與鄭衆自己的意思相去甚遠，大大地弱化了鄭衆注中所體現的歷史演化觀念，把鄭衆所認定的“九數”的年代拉後了很長時間，而祇作爲說話當下之前的數學門類而已。李儼先生搜集了不同文獻中所列的“九數”，沒有對鄭衆的注投以太多的關注，更沒有用“九數”來說明《九章算術》年代的上限，而祇是用以暗示《九章算術》存在古老的淵源而已。

3《後漢書》關於馬續善《九章算術》的記載，錢、李二先生都據以證明馬續之前《九章》已成書。但他們的意見還有些出入。李先生據此和漢光和斛銘中有“九章算術”之名，說明《隋書·經籍志》的著錄不是《九章算術》名稱的最早記錄[41]。而錢先生則仍有把《九章》後拉的傾向，說孫文青的一個沒有證據的觀點——《九章算術》由馬續編纂是很可能的。

4《廣韻》“筭”字條說：“九章術，漢許商、杜忠，吳陳熾，魏王粲並善之”[42]。《漢書·藝文志》沒有著錄《九章》而著錄了《許商算術》和《杜忠算術》。錢先生完全不理會《廣韻》的這條史料，而據後者推定許、杜的《算術》是《九章》的前身。前提當然還是以《藝文志》著錄與否作爲一書是否在西漢時存在的標準。李先生則不理會這一標準，而是協調兩條史料。他曾認爲“九章術”即《九章算術》，許、杜的《算術》是研習《九章算術》之作[43]。後來，雖不把“九章術”等同《九章算術》，但仍說許、杜善《九章術》，而不說《九章算術》受了許、杜的任何影響[44]。

懷疑和實證的精神是科學硏究的靈魂。錢先生在這方面給我們做出了很多榜樣。但在有的具體問題上，他在懷疑和實證之間有些失衡。這可能和他受疑古思潮的影響很深有關繫。疑古本是審查史料的前提，但人們有時候會過了頭，把某時發生某事之可疑等同於某事不發生於某時，這種情况曾經頗爲流行。在七十年代以前，學術界對古書年代的判斷，往後拉的傾向相當常見。錢先生受此影響，在論述《九章算術》年代中沒有給予劉徽記載這一直接證據以足够的重視，而轉向《漢書·藝文志》、《後漢書·馬援傳》等間接證據，幷在分析史料時帶有一些的主觀性，把《九章算術》的成書年代推得相當靠後。以致在馬續與《九章算術》關係的問題上，有些自相矛盾；而對鄭衆的注釋也做了違背古人本意的解釋。其實，不光相信某項史料需要證據，懷疑史料本身也需要建立在證據和推理的基礎之上。

李儼編史的特點是以史料爲中心，儘量用史料直接構築歷史，而不做過多的推衍[45]。在《九章算術》編纂問題上，他的作法表現出一種努力協調不同史料的傾向，而不是用一條史料去否定另一條史料。不過這幷不意味著他沒有懷疑的精神。他說張、耿“删定《九章》”[46]，又說“劉徽注《九章算術》，自此《九章》一書，始有定本”[47]，說明他認爲在耿壽昌時《九章算術》雖已編成，但仍允許後來有所調整。

前文說到，出土材料證明《九章》的均輸與漢武帝時代經濟工作中的均輸是兩回事，前者更古，而《筭數書》證明《九章》的盈不足方法亦應出現於先秦時期。雲夢睡虎地一個約公元前217年的墓中出土了主要行用於戰國時期秦國的法律，證明當時的法律必須以高度發達的數學水平爲基礎，再結合公元前186年墓中發現的《筭數書》等材料，證明《九章》的主要方法産生於先秦[48]。而日本學者堀毅考察《九章》涉及的物價，結論是它主要反映了戰國和秦時代的物價[49]；中國學者宋傑考察《九章》中包括物價在內的經濟情况，也證明書中所反映的經濟情况幾乎都在西漢末年以前[50]。這些也說明，《九章》中的那些算題應當形成於戰國至西漢這一時期，而不是東漢。當然，這些也祇是《九章算術》編成年代早的間接而非直接證據，因爲後世也可能用前代的材料編輯成書。但既然沒有證據表明《九章算術》的內容要到東漢纔有，所以劉徽的記載在經受住了不可信的質疑後，無疑應爲一種最佳的選擇。

《漢書·藝文志》是否著錄，祇能作爲一個參考。事實上，《藝文志》本身就存在很多問題。理由是：(1)它有一些自相矛盾的地方。如著錄有許商、杜忠《算術》的曆譜類在羅列了具體的書目後說“右曆譜十八家，六百六卷”[51]。可實際所列與之相比，家數相同而篇數少了40篇。書中說“右兵技巧十三家，百九十九篇”[52]。比實際所列少了3家、3篇，另有圖3卷、書5卷未統計在內。其他類別如春秋類等也有問題。這個問題古人早已发現了。如顔師古就說：“其每略所條家及篇數，有與總凡不同者，轉寫脫誤，年代久遠，無以詳知”[53]。他把原因歸結爲傳抄錯誤。是否所有的錯誤都應該由傳抄刻印者負責，我們無以詳知，但現傳本《藝文志》遠非完善則是無疑的。(2)前人早已注意到《藝文志》收書不全。如清姚振宗的《漢書藝文志拾補》[54]就做了大量補充，其中曆譜類補了“一十六家一十六部”，種數接近《藝文志》曆譜類總數，其中包括《周髀》和《九章算術》。姚氏的“拾補”，有不謹嚴處，我們暫不作爲依據。今祇就《漢書》所提及而不爲《藝文志》所著錄者，做不完全的搜集，就能說明《藝文志》確實收錄不全。如《漢書》“儒林傳第五十八”說許商“善爲算，著《五行論曆》”[55]。這顯然是曆算書。但《藝文志》幷未著錄此書，而著錄有“許商五行傳記一篇”，放在六藝略的書家即《尚書》類[56]。顯然二書不是同一種。又如《漢書·律曆志第一上》說“至孝成世，劉向總六曆，列是非，作《五紀論》。向子歆究其微眇，作《三統曆》及《譜》以說《春秋》，推法密要，故述焉”[57]。《漢書·楚元王傳第六》也說“太后留歆爲右曹太中大夫，遷中壘校尉、羲和、京兆尹，使治明堂辟雍，封紅休侯。典儒林史卜之官，考定律曆，著《三統曆譜》”，又篇末 “贊曰：仲尼稱‘材難不其然與！’……劉氏《洪范論》發明《大傳》，著天人之應；《七略》剖判藝文，總百家之緒；《三統曆譜》考步日月五星之度，有意其推本也”[58]。可這屬於曆譜類的《五紀論》、《三統曆》（或《三統》）、《三統曆譜》却偏偏都不見《漢書·藝文志》著錄。再如《藝文志》祇著錄了張蒼的一本書《張蒼十六篇》，列於諸子略的陰陽家[59]。而據《史記》卷九十六“張丞相列傳”中“故漢家言律曆者，本之張蒼。蒼本好書，無所不觀，無所不通，而尤善律曆”句末的注稱“集解：《漢書》曰：‘著書十八篇，言陰陽律曆事’”[60]。而《漢書》卷四十二“張周趙任申屠傳第十二”亦確說張蒼“年百餘歲乃卒。著書十八篇，言陰陽律曆事”[61]。據上下文，這十八篇書應主要是講律曆的，當列於數術略的曆譜類。由於篇數不同，類別不合，張蒼的這十八篇的書，應該不是《藝文志》著錄的那部《張蒼十六篇》，可見張蒼的著作在《藝文志》中也有漏列。我們沒有進行系統的搜集，就發現光是《漢書·藝文志》中著錄數學書的曆譜類就少收錄了同樣見於《漢書》而早於東漢的著作達五種之多，爲曆譜類已收錄種數的27.8%；其中肯定早於劉歆《七略》的至少有三種，爲曆譜類已收種數的六分之一。所以，不管是《藝文志》原來就漏收，還是它在流傳過程中出現脱落，都說明今本《藝文志》不著錄某書不可作爲判斷當時沒有該書的有力證據，而祇能作爲參考和旁證。現傳本《藝文志》不著錄《九章算術》，既有可能是它本來就收錄不全，也有可能是今本有脫落。

至於《後漢書·馬援傳》，當然也可用作考察《九章算術》成書年代的材料，但它與劉徽的記載是互補而不是衝突的關係。另外，也没有甚麽證據表明它比劉徽的意見更可靠。從時間上說，劉徽爲《九章算術》作注在公元263年左右，范曄（公元398-445年）撰《後漢書》始於公元432年（一说在公元424年）[62]，比劉徽约晚了一百七十年。劉徽作注距離他所提到的《九章》的最後編定者耿壽昌的活动年代约三百餘年，范曄撰《後漢書》距離馬續开始硏讀《九章算術》约三百四十年。同是相差三百多年，何必輕視早一百七十年的劉徽反而重視晚兩三个朝代的范曄？況且劉徽專精算學，治學非常嚴謹；而范曄著書要處理衆多人物和事件的史料，他本人又非曆算專家，所以遺漏和出錯的槪率就要大得多。更何況兩人的記載本無矛盾：劉徽講述《九章》的成書，范曄祇是涉及（甚至不能算是介紹）《九章》的流傳！

因此，我們認爲李儼先生的作法是相當穩妥的。目前，雖然在數學史界以外取錢先生關於《九章算術》成書於公元一世紀觀點的人較多[63]，在數學史界也有不同的意見，但選擇公元前1世紀作爲《九章》成書年代的學者已居於多數。

總之，我們認爲，對史料的懷疑和審查是必要的，但這與采信史料一樣，都應以强調證據和推理爲基礎。古代的文獻記載，可能存在造假和錯誤，但造假是有動機的，出錯是有原因的，這都需要合適的分析來判斷。古代存在着部份或全部假造的文獻和錯誤的記載，提醒我們要懷疑和審查文獻的可靠性，但可疑的程度有大有小，應分別對待，不能從可疑一下滑到否定。就造假而言，一般說來，不牽涉利害（榮譽、權力、地位、錢財、人際等）關係，造假的動機就很小。所以，古代在數學方面造假的可能性，就應該遠比在天文、醫藥等方面要小得多。人們在質疑甚至否定某一條（或一部分）古代文獻A的可靠性時，常常用另外的一條（或一部分）文獻B來作爲證據，而這又往往以B可靠，甚至以由B引申出來的意思可靠爲前提。而反過來人們也可以用A可靠來質疑或否定B。由於難以掌握客觀的標準，在不同的文獻之間舍此取彼時有時會出現很大的隨意性。如果過份强調不同文獻之間的矛盾，容易有意無意地誤解（或曲解）文獻的原意，或誇大某一條（或部份）文獻的功效。上面錢先生的第2和第3條理由就是如此。一般說來，如果有關同一個問題的幾條文獻都是從同一方面來講的，那麽它們之間有矛盾時，要麽祇有一個意見正確，要麽都不正確，必須否定其中的一部分乃至全部。但如果這幾條文獻講的是同一問題的不同方面，用文獻A去否定文獻B時，就應謹慎一些。如果過份强調文獻之間的矛盾，容易導致文獻中有用的信息被過濾掉，錯過有價值的結論。因此，我們不僅要善於對比不同文獻之間的差异，以去除其中的錯誤信息，而且要善於發現不同文獻的共性和一致性，以得到證據較爲充分的結論。刘徽關於《九章》成書的記載、現傳本《藝文志》未著錄《九章》、鄭衆對《周禮》“九數”的注釋等史料，幷不是從同一方面涉及《九章》的成書問題。如上所述，後兩條史料本身幷不與前者構成直接的矛盾，但錢先生對前者從懷疑滑向否定，過份强調後兩者與前者的差異，進而把後兩者作爲證據來否定劉徽關於《九章》成書問題中最具體的信息——張蒼、耿壽昌以先秦著作爲基础進行整理、删補編定《九章算術》。李先生則採用另一種思路。他關於《九章》編纂的意見，雖在表述上沒有進行充分的論證，但實際上很好地協調了不同的文獻，使之與每一條史料都不矛盾。個人認爲，對於同一個問題的幾條來源不清楚的史料，如果不違背已經確定的知識，那麽讓它們和平相處的解釋，比讓它們互相攻擊的解釋更有價值。畢竟，不管否定還是肯定某個古代的說法，都以史料本身爲基礎，以承認這些史料中的全部或部份承載了或多或少的可靠信息爲前提。所以，一個能解釋最多史料的結論，雖不一定是最正確的，却是最可能正確的。另外，在同等條件下，與問題直接相關的史料也應比間接的史料優先，出自專業人士的意見應比非專業人士的意見優先。在沒有辦法獲得絶對正確結論的情况下，我們爲什麽不選一個最有可能正確的結論呢？

 

 

中國早期數學有兩種類型的知識，一種是實用算法式數學，一種是理論化數學知識。這兩種知識主要在戰國時幷存而互相影響，但前者是貫徹始終的主流[64]。出土文獻主要有利於加深我們對這一主流的認識。

出土簡牘中有大量社會和經濟、法律方面的材料，我們可以據以硏究秦漢時期數學知識的使用和傳播的社會背景，暸解兩者之間的關係[65]。

在傳世文獻中，《周髀算經》和《九章算術》是最早的數學文獻，兩者的編成都不早於西漢。前者主要用數學方法解决天文問題，後者纔是中國傳統數學的典型著作，被認爲是到西漢止中國數學的集大成之作。但其中不同阶段的成果各占多少，則不好論定。根據各種其他文獻與《九章》、《周髀》對照，來返推在二書中不同内容的形成時段，以描述二書編定之禂祵W的發展情況，是主要的方法。但返推法用起來不大如人意。如錢寶琮先生關於均輸本術類問題必出於太初元年（公元前104年）之後的意見就有問題。又如他一方面從社會需要的角度簡單說明《九章》前五章的絕大部分屬於先秦，一方面又把先秦作爲中國數學的萌芽階段，兩個說法的不協調反映了他在估價先秦和漢代數學水平時存在的艱難取捨[66]。後來，郭書春先生對《九章》結構與劉徽記載進行對比分析，也從社會背景等方面考察，認爲《九章》中術文統率應用問題的部分屬於先秦[67]，幷把春秋戰國到西漢作爲中國傳統數學框架的確立階段[68]。但錢、郭二位先生等都沒有展開系統的論述，還缺少非常有力的證據支持。

出土簡牘爲重建中國早期數學史，提供了有利條件和依據。由於出土簡牘的時間下限確定，所提供的時間信息就準確得多。首先，對於一些具體的問題，可據以確定其創作的時間下限，再根據多方面的材料和合適的推理，得出更準確或合理的創作時間。例如上面提到的均輸問題的出現，阜陽雙古堆有均輸本術類問題的殘簡，說明均輸本術問題，其下限在文帝十五年即公元前165年，再結合張家山247號漢墓竹簡中的法律文書有均輸律，說明其很可能早於公元前186年，而根據《左傳》、《荀子》、《周禮》等文獻中記載的收稅和工程中需要解决的數學問題的模型與均輸本術類問題一致，和公元前217年睡虎地秦墓中出土的秦律對工程完工時限的要求，說明在戰國時代已經具有均輸本術類問題的方法，再結合《鹽鐵論》中的古均輸與《九章》均輸本術類問題相對應的實際，以及鄭衆把均輸作爲先秦“九數”的一個門類，還有劉徽的記載，說明均輸本術問題是出現於先秦時期的。這樣，所有的證據都表明均輸本術類問題都出現於先秦。而《筭數書》中有與《九章》均輸章中的非均輸本術類問題同型的問題，而非均輸本術類問題又比本術類問題簡單得多，再結合物價，這樣就可以把《九章》的均輸章主要歸結爲先秦時期[69]。又如《九章算術》專門有一章講盈不足方法的各種形式，過去祇根據鄭衆“九數”、劉徽的記載，物價和其他一些文獻中的蛛絲馬迹，推論盈不足術可能在先秦已經存在[70]。而出土《筭數書》中已經有盈不足問題，則完全證明在漢初就確實有了盈不足方法。再結合《筭數書》中盈不足問題的表述特徵，分析其與《九章算術》的關係，則可以證明《筭數書》的盈不足問題應晚於《九章算術》的盈不足方法，再給前面已經涉及的情况，可以推斷盈不足確應是先秦數學的一個門類[71]。上面祇是出土簡牘所能證明《九章算術》中一些算法出於先秦的例子，實際情况還有不少。這說明劉徽的記載和鄭衆的注釋，是有道理的。睡虎地秦簡中所記載的秦律，既說明當時要用到《九章算術》中大量的數學方法，甚至很複雜的方法，也說明秦國嚴酷的法律建立在高水平的數學基礎之上。由於墓主約死於公元前217年，又據避諱推知大多數法律在秦始皇繼位（公元前246年）之前就已經施行，這樣的時間點就爲我們確立先秦數學的方法提供準確的時間坐標[72]。另外，《筭數書》本身是一部撮編之作，它取材於各種更早的算書，因此，《筭數書》雖然以公元前186年爲下限，但其中的數學內容和方法却還要早一些，應主要成於戰國時期[73]。

綜合考慮多方面因素，我們就可以建立了一個關於早期實用算法式數學發展的大致脉絡：西周時有教授貴族子弟的“九數”，內容可能主要是一些建立在十進位值制記數法和九九表之上的各種實用算法。這個“九數”傳統的數學到春秋戰國時代大爲發展，形成了基於分數的各種算法，應包含了鄭衆所列“九數”中的數學門類，幷可能有一部變化著的、與現傳漢代《九章算術》規模差不多的經典數學著作（是否叫《九章算術》還不能肯定），它是現傳漢編《九章》的祖本。此書或其衍生本間接或直接地爲一些學者和官吏所學習，他們結合實際和興趣，形成了不同形式的數學材料和問題。《筭數書》所取材的書就是這類材料。總之，現傳本《九章算術》的主要方法是先秦就已存在的，其大部分內容也是如此。其中祇有少部分方法和內容爲張蒼、耿壽昌所增補，當然也有若干內容爲它們所删除。從先秦到西漢，由“九數”到《九章算術》是一個實用算法式數學文獻發展的系統，可以稱爲經典系統。另有一個非經典的系統，是受經典文獻系統直接或間接影響而形成的各種數學文獻，《筭數書》所取材的數學著作，居延漢簡中的數學文獻，可歸入此類。非經典系統的文獻可能又可大致分爲專業型和應用型兩類。經典和非經典兩個系統的文獻都處在變化中，它們互相影響，而以前者影響後者居多[74]。

當然，由於簡牘數學著作《筭數書》最早也祇是出於約元前186年的墓中，所以不同的思路會有不同的構建早期數學史的方式。如李迪先生仍堅持早年的意見，認爲《九章算術》有很多來源，《筭數書》是其中之一；先秦至漢代有一些數學題簡存於官府，它們（他稱爲“官簡”）逐渐積累，經過張蒼、桑弘羊、耿壽昌、許商、杜忠等學者的加工整理、增補删節，最後由劉歆編定而成《九章算術》[75]。古克禮（Christopher Cullen）先生則持另一種類似的意見[76]。

在先秦諸子文獻中，有大量涉及論證和推理的例證，尤其在墨家和名家的文獻中，已有涉及數學概念（或包括數學涵義在內的概念）和推理範式，《周髀算經》中記載商高答周公問和陳子答榮方問，也說明當時的數學不僅有推理，而且應該反映在文獻中。《九章算術》中有大量高深、複雜而具有普適性的計算方法，這些方法當然應該有邏輯推理作爲支撑，但其中記載推理的文字却難得一見。而這種推理的痕迹，在《筭數書》中還能找到[77]。《筭數書》中數學用語的表達方式多種多樣，但這種多樣性在現傳本《九章算術》中就消失殆盡了[78]。這可能是與經秦至西漢兩百年間大一統的政治、社會和文化格局的逐漸形成與鞏固有關，而張、耿大概就是在這個大背景下整理和删補《九章算術》的。

 

總之，出土簡牘對中國數學史硏究具有特別的意义和價值，它不僅提供了一些實例，檢驗了以前根據有限信息从不同思路出發推導出来的不同結論，幷進而讓我們反思運用史料的方法，而且使早期數學史的重建不僅更具體而且更堅實。這方面的工作雖已取得了很大進展，但還有大量的工作可做，特別是出土的非數學文獻中存在的很多信息，在數學史硏究中還没有得到充分的發掘和利用，非常值得重視。當然，由於出土數學文獻的數量有限，涉及的時間跨度也不够長，特別是還沒有在秦代和先秦遗迹中發現數學著作，所以返推的方法仍處於重要的地位。另外，由於目前出土的簡牘涉及數學知識的範圍還有限，所以我们也不能對此期待過高，特別是在早期數學的理論方面更是如此。

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